[하버드] 확률론 기초: Statistics 110

학습목표

Monty Hall 문제를 이해하고 확장해 볼 수 있으며, 심슨의 역설을 이해한다.

핵심 키워드

학습하기

학습내용

Monty Hall 문제

: 세 개의 문 중에 하나 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 개 뒤에는 염소가 있다. Monty가 내가 고르지 않은 문 중 하나를 열어 염소가 있는 것을 보여줬다면, 나는 처음 고른 문에서 바꾸는 것이 유리한가, 그렇지 않은가?

i) 수형도로 풀기

ii) 전체 확률의 법칙으로 풀기

$S$ : 처음 선택에서 바꿔서 자동차 있는 문을 맞추는 사건

$D_j$ : j번 문 뒤에 자동차가 있는 사건 $\in \{1, 2, 3\} )$

$P(S|D_1)\times \large{\frac{1}{3}}$ $P(S|D_2) \times \large \frac{1}{3}$ $+P(S|D_3) \times \large \frac{1}{3}$

$1\times \large \frac {1}{3}$ $\times \large \frac {1}{3} = \frac {2}{3}$

또한 Monty는 내가 고르지 않은 두 개의 문이 둘 다 염소가 있다면 두 문을 열 확률은 같으므로

$P (S ∣$ Monty가 2번문을 연다 $\large \frac{2}{3}$ $= P (S)$

으로, 조건부 확률과 조건부가 아닌 확률 값이 일치한다.

Simpson's Paradox(심슨의 역설): 부분에서 성립하는 대소 관계는 전체를 보았을 때 역전될 수도 있다.

예시) 심슨 가족이 사는 스프링필드에 Dr.Hibbert와 Dr.Nick, 두 명의 의사가 있교, 그들은 심장 수술과 반창고 제거 두 가지 수술을 한다고 하자.

의사들의 수술종류별 성공률을 보았을 때, Dr.HIbbert가 더 좋은 의사임은 분명하다.

하지만 Dr.Nick이 더 높은 전체 수술 성공률을 근거로 스스로의 경쟁력을 주장한다면, 이 또한 틀린 말은 아니다!

(수업에서 제시한 심슨 가족의 예시 외에도, https://en.wikipedia.org/wiki/Simpson%27s_paradox 에서 더 많은 심슨의 역설 예시를 찾아볼 수 있다.)

이론적 접근

A: 수술이 성공하는 사건

B: Dr. Nick가 수술을 집도하는 사건

C: 심장 수술을 받는 사건

심장) $P(A|B^C,C)$

반창고) $P(A|B,C^C) < P(A|B^C,C^C)$

로 Dr.Hibbert가 각각의 수술이라는 조건부 확률에서는 더 좋은 성적을 보일 수 있지만,

무조건부 확률은 $P(A|B^C)$ 와 같이 역전될 수가 있다는 것이다.

$\Large\Rightarrow$ 여기서 C(수술의 종류)는 confounder (교란변수)라고 하며, 이렇게 적절한 confounder에 의한 조건부 확률을 확인하지 않으면 상황에 대한 그릇된 판단을 내릴 위험이 있다.

전체 확률의 정의를 이용해 심슨의 역설이 틀렸음을 증명할 수 있는가?

$P(A|B,C^C)P(C^C|B)$ 에서

문제에서 주어진 조건에서 $P(A|B^C,C)$ , $P(A|B,C^C) < P(A|B^C,C^C)$ 는 확인 가능하지만,

$P(C^C|B)$ 가 좌항, 우항에 서로 다른 가중치로 작용하기 때문에

증명할 수 없다.